Da Binario a Decimale

Che cos'è il sistema binario

Il sistema binario è un modo di scrivere i numeri che usa soltanto due cifre: 0 e 1. È il linguaggio nativo dei computer, perché i circuiti elettronici hanno naturalmente due stati — acceso e spento, tensione alta e bassa — che si prestano a rappresentare proprio l'1 e lo 0. Ogni cifra binaria si chiama bit (da binary digit), e otto bit formano un byte.

Il sistema che usiamo tutti i giorni è invece quello decimale (base 10), con dieci cifre da 0 a 9. La differenza sta nella "base": nel decimale ogni posizione vale una potenza di 10 (unità, decine, centinaia…), nel binario ogni posizione vale una potenza di 2 (uno, due, quattro, otto…). Il principio è lo stesso — il valore di una cifra dipende dalla sua posizione — cambia solo il numero di simboli disponibili.

Convertire tra binario e decimale serve a chiunque si avvicini all'informatica: studenti, programmatori alle prime armi, appassionati di elettronica. Permette di capire come i numeri con cui ragioniamo vengano rappresentati dentro una macchina, e viceversa.

Il calcolatore di questa pagina converte in entrambi i versi: da binario a decimale e da decimale a binario. Un'altra base fondamentale in informatica è quella esadecimale (base 16), che ha una pagina dedicata: la conversione da decimale a esadecimale è strettamente legata a quella binaria, perché entrambe descrivono lo stesso mondo dei bit.

La formula: sommare le potenze di 2

Per convertire un numero binario in decimale si assegna a ogni cifra il valore della potenza di 2 corrispondente alla sua posizione, partendo da destra con l'esponente 0. La cifra più a destra vale 2⁰ = 1, la successiva 2¹ = 2, poi 2² = 4, 2³ = 8, e così via raddoppiando. Si sommano poi tutti i valori delle posizioni che contengono un 1 (le posizioni con uno 0 non contribuiscono).

In pratica, per ogni cifra si moltiplica il suo valore (0 o 1) per la potenza di 2 della sua posizione, e si sommano i risultati. Il numero decimale è quella somma. È lo stesso meccanismo che usiamo nel sistema decimale, dove 305 significa 3×100 + 0×10 + 5×1: solo che qui le potenze sono di 2 anziché di 10.

Per il verso opposto — da decimale a binario — si procede con le divisioni successive per 2, annotando i resti. Si divide il numero per 2, si segna il resto (0 o 1), si divide il quoziente ancora per 2, e si continua fino ad arrivare a zero. Leggendo i resti dal basso verso l'alto (dall'ultimo al primo) si ottiene il numero binario.

Il calcolatore automatizza entrambi i procedimenti. Nel decimale il valore delle posizioni cresce rapidamente: con otto bit si arriva fino a 255, con dieci bit fino a 1023, perché ogni bit in più raddoppia il numero massimo rappresentabile.

• Da binario a decimale: somma le potenze di 2 delle posizioni con un 1
• Le posizioni (da destra) valgono 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…
• Da decimale a binario: dividi per 2 ripetutamente e leggi i resti dal basso

Esempio pratico: 1010 in decimale

Partiamo dal caso di default del calcolatore: convertire il binario 1010 in decimale. Il numero ha quattro cifre, quindi quattro posizioni.

Assegniamo i valori posizionali, da destra a sinistra: la prima cifra vale 2⁰ = 1, la seconda 2¹ = 2, la terza 2² = 4, la quarta 2³ = 8. Ora leggiamo le cifre di 1010 e sommiamo solo quelle che valgono 1: la cifra più a sinistra (posizione da 8) è 1, poi 0 (posizione da 4), poi 1 (posizione da 2), poi 0 (posizione da 1). La somma è 1×8 + 0×4 + 1×2 + 0×1 = 8 + 2 = 10.

Il binario 1010 vale quindi 10 in decimale. Verifichiamo il verso opposto: 10 diviso 2 dà quoziente 5 con resto 0; 5 diviso 2 dà 2 con resto 1; 2 diviso 2 dà 1 con resto 0; 1 diviso 2 dà 0 con resto 1. Leggendo i resti dal basso — 1, 0, 1, 0 — ritroviamo 1010. Il cerchio si chiude.

Il risultato combacia con l'output del calcolatore: con il binario 1010 restituisce 10.

A cosa serve: informatica e byte

Il binario è la base di tutto ciò che accade dentro un computer. Ogni informazione — un numero, una lettera, un pixel — è in ultima analisi una sequenza di bit. Capire la conversione tra binario e decimale è il primo passo per comprendere come le macchine memorizzano ed elaborano i dati.

L'unità pratica è il byte, cioè otto bit. Con otto bit si rappresentano 2⁸ = 256 valori diversi, dallo 0 al 255: non è un caso che 255 sia il valore massimo di un byte e ricorra ovunque in informatica. Questo legame tra potenze di 2 e limiti dei dati spiega perché tanti valori tecnici siano proprio 256, 1024, 65536.

Il binario compare anche nelle reti (gli indirizzi IP si ragionano in bit), nelle maschere di sottorete e nella logica dei circuiti digitali. In tutti questi campi saper passare dal binario al decimale rende leggibili numeri che altrimenti sembrerebbero criptici.

Per rendere più compatte le lunghe sequenze di bit, l'informatica usa spesso l'esadecimale, in cui ogni cifra racchiude quattro bit. Per questo la conversione da decimale a esadecimale va di pari passo con quella binaria; entrambe, insieme al calcolo delle potenze, sono strumenti di base per chi lavora con i numeri delle macchine.

Errori comuni da evitare

L'errore più frequente è sbagliare l'ordine delle potenze. Il valore posizionale parte da destra: la cifra più a destra vale 1 (2⁰), non 2. Contare le potenze da sinistra, o partire dall'esponente 1 anziché 0, sfasa tutti i valori e produce un risultato errato.

Il secondo sbaglio è dimenticare le posizioni con lo 0. Anche se una cifra 0 non aggiunge nulla alla somma, essa "occupa" comunque la sua posizione: nel numero 1010 lo 0 tiene il posto della potenza da 4 e della potenza da 1. Ignorarle e leggere solo gli 1 fa collassare le posizioni e cambia il risultato.

Un terzo errore, nella conversione inversa, è leggere i resti nell'ordine sbagliato. Dividendo ripetutamente per 2, i resti vanno letti dal basso verso l'alto (dall'ultimo ottenuto al primo). Leggerli dall'alto verso il basso restituisce il numero binario rovesciato.

Infine, ricorda che il binario ammette solo le cifre 0 e 1. Una sequenza che contiene un 2 o altre cifre non è un numero binario valido; il calcolatore, in quel caso, segnala di inserire solo cifre 0 e 1.