Teorema di Euclide

Il triangolo rettangolo e le proiezioni

I teoremi di Euclide riguardano il triangolo rettangolo, cioè il triangolo con un angolo di 90°. In questo triangolo il lato opposto all'angolo retto è l'ipotenusa (il più lungo), mentre i due lati che formano l'angolo retto sono i cateti. La chiave dei teoremi è tracciare l'altezza relativa all'ipotenusa: il segmento perpendicolare che va dal vertice dell'angolo retto fino all'ipotenusa.

Questa altezza divide l'ipotenusa in due parti, chiamate proiezioni dei cateti. La proiezione di un cateto è l'"ombra" che quel cateto proietta sull'ipotenusa: il tratto di ipotenusa compreso tra un vertice e il piede dell'altezza. Ogni cateto ha la sua proiezione, e le due proiezioni, sommate, ricostruiscono l'intera ipotenusa.

L'altezza, inoltre, spezza il triangolo rettangolo di partenza in due triangoli rettangoli più piccoli. La proprietà notevole è che questi due triangoli sono simili tra loro e simili al triangolo grande: hanno cioè gli stessi angoli e lati proporzionali. È da questa somiglianza che nascono i due teoremi di Euclide, che traducono le proporzioni tra lati simili in formule con le radici quadrate.

Il calcolatore di questa pagina parte proprio dalle due proiezioni e ricava tutto il resto: l'ipotenusa, l'altezza e i due cateti. Con i valori predefiniti — proiezioni 3,6 e 6,4 — l'ipotenusa vale 10, l'altezza 4,8 e i cateti 6 e 8.

I due teoremi di Euclide

Il primo teorema di Euclide riguarda i cateti. Afferma che, in un triangolo rettangolo, ogni cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la propria proiezione su di essa. In formula: cateto² = ipotenusa × proiezione, da cui cateto = √(ipotenusa × proiezione). Ci sono due versioni, una per ciascun cateto, usando la rispettiva proiezione.

Il secondo teorema di Euclide riguarda invece l'altezza relativa all'ipotenusa. Afferma che questa altezza è media proporzionale tra le due proiezioni dei cateti. In formula: altezza² = proiezione1 × proiezione2, da cui altezza = √(proiezione1 × proiezione2). È un risultato utilissimo, perché permette di trovare l'altezza conoscendo solo le due proiezioni.

L'espressione "medio proporzionale" significa che una grandezza x è tale che a : x = x : b, ossia x² = a × b e quindi x = √(a × b). Nel primo teorema il cateto è il medio proporzionale tra ipotenusa e proiezione; nel secondo l'altezza è il medio proporzionale tra le due proiezioni. In entrambi i casi il calcolo si riduce a una radice quadrata di un prodotto.

L'ipotenusa, infine, si ottiene senza teoremi: è semplicemente la somma delle due proiezioni, perché insieme ricoprono tutto il lato. Da qui il calcolatore parte per applicare gli altri due passaggi. I teoremi di Euclide sono strettamente imparentati con il teorema di Pitagora: combinandoli si ritrova infatti che ipotenusa² = cateto1² + cateto2², e per calcolare un singolo lato in casi più semplici resta valido anche il calcolo dell'ipotenusa.

• Ipotenusa = proiezione1 + proiezione2 (le due proiezioni ricoprono l'ipotenusa).
• 1° teorema (cateti): cateto = √(ipotenusa × propria proiezione).
• 2° teorema (altezza): altezza = √(proiezione1 × proiezione2).

Esempio con proiezioni 3,6 e 6,4

Prendiamo i valori predefiniti del calcolatore: proiezione del primo cateto p = 3,6 e proiezione del secondo cateto q = 6,4. Primo passo, l'ipotenusa, che è la somma delle proiezioni: 3,6 + 6,4 = 10.

Secondo passo, l'altezza con il secondo teorema di Euclide: altezza = √(p × q) = √(3,6 × 6,4) = √23,04 = 4,8. Terzo passo, i cateti con il primo teorema. Il primo cateto usa la sua proiezione (3,6): cateto1 = √(ipotenusa × p) = √(10 × 3,6) = √36 = 6. Il secondo cateto usa la sua proiezione (6,4): cateto2 = √(ipotenusa × q) = √(10 × 6,4) = √64 = 8.

Riassumendo, otteniamo ipotenusa 10, altezza 4,8, cateti 6 e 8: esattamente i valori restituiti dal calcolatore. Riconosciamo un vecchio amico: 6, 8 e 10 formano un triangolo rettangolo, il "3-4-5" raddoppiato, una terna pitagorica. Non è un caso che i numeri vengano tutti "tondi": le proiezioni predefinite sono state scelte apposta per dare un esempio pulito.

Verifichiamo la coerenza con Pitagora: cateto1² + cateto2² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² = ipotenusa². Tutto torna. Un secondo controllo: l'area del triangolo si può calcolare in due modi che devono coincidere — come (cateto1 × cateto2) ÷ 2 = (6 × 8) ÷ 2 = 24, oppure come (ipotenusa × altezza) ÷ 2 = (10 × 4,8) ÷ 2 = 24. I due valori sono uguali, come previsto dalla geometria; per approfondire il calcolo della superficie c'è la pagina sull'area del triangolo.

Euclide, Pitagora e le formule inverse

I teoremi di Euclide e il teorema di Pitagora descrivono lo stesso triangolo rettangolo da angolazioni diverse, e insieme formano un sistema completo. Pitagora lega i tre lati (ipotenusa² = cateto1² + cateto2²); il primo teorema di Euclide lega ogni cateto all'ipotenusa e alla sua proiezione; il secondo lega l'altezza alle proiezioni. Scegliere quale usare dipende da quali dati hai a disposizione.

Se conosci le due proiezioni, come in questa pagina, i teoremi di Euclide danno tutto in modo diretto. Se invece conosci i cateti e vuoi l'ipotenusa, la strada più rapida è il teorema di Pitagora, disponibile nella pagina dedicata, o il calcolo dell'ipotenusa. I due approcci sono compatibili e portano agli stessi risultati.

I teoremi si possono anche invertire. Dal primo teorema, se conosci un cateto e l'ipotenusa, ricavi la proiezione: proiezione = cateto² ÷ ipotenusa. Dal secondo, se conosci l'altezza e una proiezione, ricavi l'altra: proiezione2 = altezza² ÷ proiezione1. Queste forme inverse sono utili quando parti da dati diversi dalle sole proiezioni.

Tutti questi calcoli poggiano su un'unica operazione ricorrente: la radice quadrata. Ogni "medio proporzionale" è la radice quadrata di un prodotto, quindi avere confidenza con le radici — anche tramite lo strumento dedicato al calcolo della radice quadrata — rende immediati sia i teoremi di Euclide sia quello di Pitagora.

A cosa serve nella pratica

I teoremi di Euclide sono soprattutto uno strumento didattico e di dimostrazione: sono il cuore di molti esercizi di geometria delle scuole superiori e la base con cui si ricava per via geometrica la radice quadrata di un numero. La "costruzione del medio proporzionale", che disegna un segmento lungo esattamente √(a × b), discende direttamente dal secondo teorema.

Nella geometria applicata, la relazione tra altezza, cateti e proiezioni compare ogni volta che si studia un triangolo rettangolo "spezzato" dalla sua altezza — per esempio nel calcolo di distanze e altezze inaccessibili, dove si conoscono alcune proiezioni al suolo e si vuole risalire alle lunghezze inclinate. Il ragionamento per triangoli simili è lo stesso che sta alla base di molte tecniche di misura indiretta.

In ambito costruttivo e nel disegno tecnico, i teoremi aiutano a determinare lunghezze mancanti quando una figura complessa si scompone in triangoli rettangoli. Sapere che ogni cateto è medio proporzionale tra ipotenusa e proiezione permette di trovare un lato senza misurarlo, purché si conoscano l'ipotenusa e la proiezione corrispondente.

In tutti questi casi il metodo è lo stesso: individua l'ipotenusa e le proiezioni, applica il primo teorema per i cateti [√(ipotenusa × proiezione)] e il secondo per l'altezza [√(proiezione1 × proiezione2)]. Se poi ti serve la superficie del triangolo, la calcoli con l'area del triangolo, e per la sola ipotenusa dai cateti resta comodo il calcolo dell'ipotenusa.

Errori comuni da evitare

L'errore più frequente è abbinare al cateto la proiezione sbagliata. Nel primo teorema ogni cateto va con la propria proiezione: il cateto1 con la proiezione del cateto1, il cateto2 con quella del cateto2. Scambiarle porta a un cateto errato. Nel nostro esempio, cateto1 = √(10 × 3,6) = 6 usa la proiezione 3,6, non 6,4.

Il secondo errore è confondere i due teoremi, cioè usare la formula dell'altezza per un cateto o viceversa. L'altezza è √(p × q), il prodotto delle due proiezioni; il cateto è √(ip × proiezione), il prodotto dell'ipotenusa per una sola proiezione. Sono formule diverse: l'una moltiplica le due proiezioni tra loro, l'altra l'ipotenusa per una proiezione.

Un terzo errore è dimenticare la radice quadrata. I teoremi danno il quadrato della grandezza (cateto² o altezza²): per ottenere il lato vero bisogna estrarre la radice. Fermarsi al prodotto (per esempio dire che il cateto vale 36 invece di √36 = 6) porta a risultati enormemente sbagliati, esattamente come accade dimenticando la radice in Pitagora.

Infine, ricorda i controlli di coerenza. L'ipotenusa deve essere la somma delle proiezioni e maggiore di ciascun cateto; l'altezza deve risultare minore di entrambi i cateti. E i teoremi di Euclide valgono solo per il triangolo rettangolo: applicarli a un triangolo qualsiasi, senza angolo retto, non ha senso. Se un controllo non torna, c'è un errore nei dati o nell'abbinamento delle proiezioni.

Esempio di calcolo

Triangolo rettangolo con proiezioni dei cateti 3,6 e 6,4 (i valori predefiniti).

Domande frequenti