Area del Settore Circolare

Che cos'è il settore circolare

Il settore circolare è la porzione di cerchio delimitata da due raggi e dall'arco compreso tra essi: in pratica, una "fetta di torta". È definito da due dati soltanto: il raggio del cerchio (r) e l'ampiezza dell'angolo al centro (l'angolo formato dai due raggi, misurato in gradi). Più ampio è l'angolo, più grande è la fetta.

L'area del settore è la misura della superficie di questa fetta, cioè quanto spazio occupa sul piano. Come ogni area, si esprime in unità di misura al quadrato (cm², m²). Non va confusa con la lunghezza dell'arco, che è invece il tratto curvo di bordo del settore e si misura in unità lineari (cm, m): l'una è una superficie, l'altra una lunghezza.

L'idea chiave è semplice: il settore è una frazione dell'intero cerchio, e quella frazione è determinata dall'angolo. Un angolo giro completo misura 360°, quindi un settore con angolo di 90° è 90/360 = un quarto del cerchio, uno di 180° è mezzo cerchio (un semicerchio), uno di 360° è il cerchio intero. Basta calcolare la grandezza per il cerchio completo e prenderne la giusta frazione.

Il calcolatore di questa pagina chiede il raggio e l'angolo al centro, e restituisce due valori: l'area del settore e la lunghezza dell'arco. Con i valori predefiniti — raggio 5 e angolo 90° — l'area vale circa 19,63 e l'arco circa 7,85.

La formula: π × r² × angolo ÷ 360

La formula dell'area del settore circolare è A = π × r² × angolo ÷ 360. Si legge così: si calcola l'area dell'intero cerchio (π × r²), poi la si moltiplica per la frazione angolo ÷ 360, che dice quale porzione del cerchio è il nostro settore. Il fattore angolo ÷ 360 è il cuore della formula: trasforma il cerchio intero nella sua fetta.

Il ragionamento della proporzione è diretto. L'area del cerchio completo corrisponde all'angolo giro di 360°; l'area del settore corrisponde all'angolo del settore. Vale quindi la proporzione area settore : area cerchio = angolo : 360. Isolando l'area del settore si ottiene esattamente π × r² × (angolo ÷ 360). È la stessa logica con cui si calcola una percentuale: una parte del tutto proporzionale a quanto "pesa".

Con lo stesso identico criterio si trova la lunghezza dell'arco, cioè il bordo curvo del settore. Si parte dalla circonferenza dell'intero cerchio (2 × π × r) e se ne prende la stessa frazione: arco = 2 × π × r × angolo ÷ 360. Area e arco condividono quindi il fattore angolo ÷ 360; cambia solo la grandezza di partenza — l'area del cerchio per la superficie, la circonferenza per l'arco.

Il numero π (pi greco), circa 3,14159, compare perché stiamo lavorando con un cerchio; tutte le formule del settore discendono da quelle del cerchio, l'area del cerchio (π × r²) per la superficie e la circonferenza (2 × π × r) per il bordo. Se l'angolo è espresso in radianti anziché in gradi, la formula si semplifica in A = r² × angolo ÷ 2, ma il calcolatore lavora in gradi, con il pratico divisore 360.

• Passo 1 — Frazione del cerchio: angolo ÷ 360.
• Passo 2 — Area del settore: π × r² × (angolo ÷ 360).
• Passo 3 — Lunghezza dell'arco: 2 × π × r × (angolo ÷ 360).

Esempio di calcolo con raggio 5 e angolo 90°

Prendiamo il settore predefinito del calcolatore, con raggio 5 e angolo 90°, e seguiamo il calcolo passo per passo. Primo passo, la frazione: 90 ÷ 360 = 0,25, cioè un quarto. Il nostro settore è dunque un quarto di cerchio.

Secondo passo, l'area del cerchio intero: π × 5² = 25 × π ≈ 78,54. Terzo passo, prendiamo un quarto di questo valore: 78,54 × 0,25 ≈ 19,63. L'area del settore è quindi circa 19,63, esattamente il valore restituito dal calcolatore. In un colpo solo: π × 5² × 90 ÷ 360 = 25 × π × 0,25 ≈ 19,63.

Calcoliamo anche la lunghezza dell'arco con lo stesso metodo. La circonferenza intera è 2 × π × 5 = 10 × π ≈ 31,42; un quarto di essa è 31,42 × 0,25 ≈ 7,85. Nota che area (19,63) e arco (7,85) sono numeri diversi, perché misurano cose diverse — una superficie e una lunghezza — con unità diverse (al quadrato e lineari).

Vediamo come cambia l'area al variare dell'angolo, a parità di raggio 5. Con 45° (un ottavo di cerchio) l'area è circa 9,82, la metà di quella a 90°. Con 180° (un semicerchio) è circa 39,27, il doppio. Con 360° si ottiene l'intero cerchio, circa 78,54. L'area cresce in modo proporzionale all'angolo: raddoppiando l'angolo raddoppia la superficie della fetta.

Settore, cerchio e figure collegate

Il settore circolare è, per costruzione, una frazione del cerchio, e questo lo lega a doppio filo alle formule del cerchio completo. Ponendo l'angolo a 360° la formula del settore restituisce esattamente l'area del cerchio (π × r²); ponendolo a 180° si ottiene l'area del semicerchio, cioè la metà. Ogni volta che serve una porzione di cerchio, la strada è sempre "cerchio intero × frazione".

Attenzione a non confondere il settore circolare con il segmento circolare, che è una figura diversa: il segmento è la parte di cerchio compresa tra una corda e l'arco (la fetta a cui si è "tagliata via" la punta verso il centro). Il settore, invece, arriva fino al centro ed è delimitato da due raggi. Le due figure hanno formule diverse; questa pagina calcola il settore.

Un'altra grandezza collegata è la lunghezza dell'arco, che il calcolatore fornisce insieme all'area. L'arco è il bordo curvo del settore e si ricava come frazione della circonferenza (2 × π × r × angolo ÷ 360). Se ti interessa solo il contorno curvo — per esempio la lunghezza di una guarnizione ad arco — è questa la misura da usare, non l'area.

Il settore compare anche nel confronto con altre figure che si misurano "a frazione". Per esempio, l'area del poligono regolare si costruisce sommando tanti triangoli uguali, un po' come il cerchio si può pensare fatto di infiniti settori sottilissimi. E se lavori con l'intero cerchio, restano fondamentali la circonferenza (2 × π × r) e l'area del cerchio (π × r²), da cui il settore deriva.

A cosa serve nella vita reale

Il calcolo dell'area del settore circolare serve ogni volta che si lavora con una "fetta" di cerchio. In cucina è immediato: una fetta di torta o di pizza è un settore circolare, e la sua superficie dice quanta porzione stai servendo. Confrontare due fette di angolo diverso significa confrontare due settori dello stesso cerchio.

In edilizia, giardinaggio e progettazione servono spesso aree a forma di spicchio: aiuole a settore, terrazze a ventaglio, sezioni di rotonde e aree pavimentate curve. La formula π × r² × angolo ÷ 360 dà la superficie da rivestire, seminare o pavimentare, purché si conoscano raggio e angolo.

In ambito tecnico il settore compare nei grafici a torta, dove ogni spicchio rappresenta una percentuale: l'angolo di ogni fetta è proporzionale al dato, con 360° che valgono il 100%. Compare inoltre nel movimento rotatorio (ventagli, tergicristalli, bracci meccanici, sistemi di irrigazione a settore), dove interessa l'area "spazzata" dalla rotazione entro un certo angolo.

In tutti questi casi il ragionamento è lo stesso: individua il raggio e l'angolo al centro, calcola la frazione angolo ÷ 360 e moltiplicala per l'area del cerchio intero. Se ti serve invece la lunghezza del bordo curvo, applichi la stessa frazione alla circonferenza; e per il cerchio completo restano utili le pagine sull'area del cerchio e sulla circonferenza.

Errori comuni da evitare

L'errore più comune è confondere l'area del settore con la lunghezza dell'arco. L'area (π × r² × angolo ÷ 360) misura la superficie della fetta e va al quadrato; l'arco (2 × π × r × angolo ÷ 360) misura il bordo curvo e va in unità lineari. Un modo per non sbagliare: se compare il raggio al quadrato (r²) stai calcolando una superficie, se compare da solo una lunghezza.

Il secondo errore riguarda l'unità dell'angolo. La formula con il divisore 360 vale per angoli in gradi. Se l'angolo è espresso in radianti, la formula corretta è diversa (A = r² × angolo ÷ 2): usare il 360 con i radianti, o viceversa, dà un risultato completamente sbagliato. Il calcolatore lavora in gradi, quindi inserisci l'angolo in gradi.

Un terzo errore è dimenticare di dividere per 360, calcolando così l'intero cerchio invece del solo settore. π × r² da solo è l'area del cerchio completo, non della fetta: senza il fattore angolo ÷ 360 si sovrastima enormemente la superficie (di quattro volte, nel caso di un angolo di 90°). La frazione dell'angolo è la parte caratteristica della formula e non va mai omessa.

Infine, come per ogni misura del cerchio, non confondere raggio e diametro (il raggio è la metà) e non arrotondare pi greco troppo presto. Le formule usano il raggio, quindi un diametro va dimezzato; e per calcoli precisi conviene tenere molte cifre di π (3,14159 o più), come fa il calcolatore, per non introdurre errori di arrotondamento.

Esempio di calcolo

Settore circolare con raggio 5 e angolo al centro 90° (i valori predefiniti).

Domande frequenti