Calcolo della Radice Quadrata
Inserisci un numero per calcolarne la radice quadrata.
A cura di La redazione fiscale di Calcolando · aggiornato a gennaio 2026
In breve
La radice quadrata di un numero n è il valore che, moltiplicato per sé stesso, restituisce n: √144 = 12 perché 12 × 12 = 144. Un numero è un "quadrato perfetto" quando la sua radice è intera; i numeri negativi non hanno radice quadrata reale.
- Quadrato perfetto?
- Sì
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Come si calcola
La radice quadrata di un numero n è il valore che, moltiplicato per sé stesso, dà n. Ad esempio √144 = 12 perché 12 × 12 = 144. Un numero è un "quadrato perfetto" quando la sua radice è un numero intero. I numeri negativi non hanno radice quadrata reale.
Che cos'è la radice quadrata
La radice quadrata è l'operazione inversa dell'elevamento al quadrato. Elevare un numero al quadrato significa moltiplicarlo per sé stesso (5² = 5 × 5 = 25); estrarne la radice quadrata significa fare il percorso contrario, cioè cercare quel numero che, moltiplicato per sé stesso, dà il valore di partenza. In simboli si scrive √25 = 5, e il simbolo √ si chiama "segno di radice".
Il numero sotto il segno di radice si chiama radicando. Chiedere quanto vale √144 equivale a chiedere: "quale numero, moltiplicato per sé stesso, fa 144?". La risposta è 12, perché 12 × 12 = 144. È esattamente il caso con cui parte il calcolatore di questa pagina, che usa 144 come valore predefinito.
Ogni numero positivo ha in realtà due radici quadrate, una positiva e una negativa: sia 12 sia −12, elevati al quadrato, danno 144. Per convenzione, però, con il simbolo √ si indica soltanto la radice positiva (detta radice "principale"). Per questo il calcolatore restituisce 12 e non −12: è la scelta standard in matematica e nelle applicazioni pratiche.
La radice quadrata è strettamente imparentata con altre operazioni matematiche di base. È l'inverso del calcolo della potenza (in particolare del quadrato), è il passaggio finale del teorema di Pitagora quando si cerca l'ipotenusa, e apre la strada a operazioni più avanzate come il calcolo del logaritmo. Capirla bene è quindi un mattone che torna utile in moltissimi altri calcoli.
Quadrati perfetti e radici irrazionali
Alcuni numeri hanno una radice quadrata "pulita", cioè un numero intero: si chiamano quadrati perfetti. I primi sono 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100, che corrispondono ai quadrati di 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10. Quando il radicando è un quadrato perfetto, la radice è esatta e priva di decimali: è il caso di √144 = 12, che il calcolatore segnala esplicitamente come quadrato perfetto.
La maggior parte dei numeri, però, non è un quadrato perfetto e la loro radice ha infinite cifre decimali che non si ripetono con regolarità: si chiamano numeri irrazionali. Un esempio classico è √2 ≈ 1,4142: nessun numero decimale finito, moltiplicato per sé stesso, dà esattamente 2. Anche √3 ≈ 1,7321 e √10 ≈ 3,1623 sono irrazionali. Il calcolatore mostra questi valori con diverse cifre decimali, ma si tratta sempre di un'approssimazione.
Un modo rapido per capire tra quali interi cade una radice è "incastrarla" tra due quadrati perfetti. Per esempio √50 sta fra √49 = 7 e √64 = 8, quindi vale poco più di 7 (in effetti circa 7,07). Questa stima a occhio è utile per controllare al volo se il risultato di un calcolo è plausibile: se ottieni √50 ≈ 12, sai subito che c'è un errore.
Vale la pena ricordare la relazione con l'elevamento al quadrato: la radice quadrata e il quadrato si annullano a vicenda. Elevare al quadrato una radice riporta al radicando, cioè (√7)² = 7. Questo legame è alla base di molte semplificazioni algebriche e spiega perché la radice quadrata sia considerata l'operazione "inversa" del quadrato.
| Numero | Radice quadrata | Tipo |
|---|---|---|
| 4 | 2 | quadrato perfetto |
| 9 | 3 | quadrato perfetto |
| 144 | 12 | quadrato perfetto |
| 2 | 1,4142… | irrazionale |
| 50 | 7,0711… | irrazionale |
Esempio di calcolo: la radice quadrata di 144
Seguiamo il calcolo dell'esempio predefinito, √144. La domanda da porsi è sempre la stessa: quale numero moltiplicato per sé stesso dà 144? Possiamo procedere per tentativi ragionati. Sappiamo che 10 × 10 = 100 (troppo poco) e che 13 × 13 = 169 (troppo). Il risultato sta quindi tra 10 e 13. Provando 12: 12 × 12 = 144. Trovato: √144 = 12.
Poiché 12 è un numero intero, 144 è un quadrato perfetto e la radice è esatta, senza decimali. È proprio l'informazione aggiuntiva che il calcolatore fornisce accanto al risultato: alla voce "Quadrato perfetto?" compare "Sì".
Confrontiamo con un caso non perfetto. La radice di 150 non è un intero: 12 × 12 = 144 è troppo poco e 13 × 13 = 169 è troppo, quindi √150 sta tra 12 e 13, e più precisamente vale circa 12,2474. Qui il calcolatore segnalerebbe "No" alla domanda sul quadrato perfetto, perché il risultato ha cifre decimali che proseguono all'infinito.
Questo esempio combacia con l'output del calcolatore: con il numero 144 restituisce una radice quadrata di 12 e la conferma che si tratta di un quadrato perfetto.
Radice quadrata di alcuni quadrati perfetti. Il radicando quadruplica passando da 36 a 144, ma la radice solo raddoppia (da 6 a 12).
Perché i numeri negativi non hanno radice quadrata reale
Una regola fondamentale è che, nel campo dei numeri reali, i numeri negativi non hanno radice quadrata. Il motivo è puramente logico: qualsiasi numero moltiplicato per sé stesso dà un risultato positivo o nullo. Un positivo per un positivo è positivo (3 × 3 = 9); un negativo per un negativo è ancora positivo (−3 × −3 = 9). Non esiste quindi nessun numero reale che, elevato al quadrato, dia un risultato negativo come −9.
Per questo il calcolatore, se gli si fornisce un numero negativo, non può restituire un valore reale: la radice quadrata di −9 semplicemente non esiste tra i numeri con cui lavoriamo di solito. È un limite matematico, non un difetto dello strumento.
In matematica avanzata questo ostacolo si supera introducendo i cosiddetti numeri immaginari, costruiti proprio a partire dalla radice di −1 (indicata con la lettera i). Sono uno strumento potente in ingegneria e in fisica, ma appartengono a un livello ben oltre il calcolo quotidiano e non servono per le applicazioni pratiche che interessano questa pagina.
La conseguenza operativa è semplice: prima di calcolare una radice, verifica che il radicando sia positivo o nullo. La radice di 0 vale 0 (perché 0 × 0 = 0), mentre per un valore negativo il calcolo va rivisto — quasi sempre l'errore sta a monte, in un dato inserito con il segno sbagliato.
A cosa serve la radice quadrata nella vita reale
La radice quadrata è l'operazione chiave ogni volta che, da un'area, si vuole risalire alla lunghezza di un lato. Se un pavimento quadrato misura 144 metri quadrati, il lato è √144 = 12 metri. Lo stesso ragionamento serve per dimensionare piastrelle, stanze, appezzamenti di terreno o qualsiasi superficie quadrata di cui si conosca solo la misura complessiva.
L'applicazione più celebre è il teorema di Pitagora: per trovare l'ipotenusa di un triangolo rettangolo si sommano i quadrati dei due cateti e poi si estrae la radice quadrata del totale. È il passaggio finale, quello che trasforma il "quadrato dell'ipotenusa" nella lunghezza vera del lato. La stessa logica dà la diagonale di un rettangolo o la distanza in linea d'aria tra due punti su una mappa.
In statistica la radice quadrata compare nella deviazione standard, l'indice che misura quanto i dati si disperdono attorno alla loro media: si calcola proprio estraendo la radice della varianza. È il motivo per cui, dopo aver ottenuto media e mediana di una serie di numeri, per descriverne la variabilità si ricorre a questa operazione. Anche in finanza la radice quadrata serve a rapportare la volatilità di un investimento a orizzonti temporali diversi.
In tutti questi casi il ragionamento è identico: si dispone di una grandezza "al quadrato" (un'area, una somma di quadrati, una varianza) e si vuole tornare alla grandezza "lineare" corrispondente. La radice quadrata è lo strumento che compie esattamente questo passaggio inverso.
Errori comuni da evitare
L'errore più diffuso è confondere la radice quadrata con la divisione per due. La radice di 100 non è 50, ma 10: la domanda non è "metà di 100", bensì "quale numero moltiplicato per sé stesso dà 100?". Dividere per due è un'operazione completamente diversa dall'estrarre la radice, e le due coincidono solo per il numero 4 (√4 = 2 = 4 ÷ 2), una pura coincidenza.
Il secondo errore è dimenticare che ogni numero positivo ha due radici, una positiva e una negativa. Nei problemi pratici, come il calcolo di un lato, si usa quasi sempre solo la radice positiva, perché una lunghezza non può essere negativa. Ma in un'equazione algebrica trascurare la soluzione negativa (per esempio dimenticare che sia +12 sia −12 risolvono x² = 144) porta a perdere metà delle risposte.
Un terzo malinteso riguarda la somma: la radice di una somma non è la somma delle radici. √(9 + 16) = √25 = 5, mentre √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Sono due risultati diversi, e questo spiega proprio perché, nel teorema di Pitagora, i quadrati dei cateti vanno prima sommati e solo dopo si estrae un'unica radice del totale.
Infine, attenzione al segno del radicando: tentare di calcolare la radice quadrata di un numero negativo non ha soluzione tra i numeri reali. Se un calcolo ti porta a estrarre la radice di un valore negativo, il problema è quasi sempre a monte — un dato con il segno sbagliato o una formula applicata al contrario.
Esempio di calcolo
Esempio: calcolare la radice quadrata di 144, il valore predefinito del calcolatore, e verificare se è un quadrato perfetto.
- Numero di partenza (radicando)
- 144
- Domanda
- quale numero × sé stesso = 144?
- Verifica
- 12 × 12 = 144
- Quadrato perfetto?
- Sì (la radice è intera)
⚠️ Errori comuni da evitare
- ✕Confondere la radice quadrata con la divisione per due: √100 = 10, non 50.
- ✕Dimenticare la radice negativa: sia +12 sia −12 elevati al quadrato danno 144 (nei problemi pratici si usa la positiva).
- ✕Credere che √(a + b) = √a + √b: √25 = 5, ma √9 + √16 = 7. La radice di una somma non è la somma delle radici.
- ✕Tentare la radice di un numero negativo: non esiste tra i numeri reali, quindi l'errore è quasi sempre nel dato di partenza.
✅ In sintesi
- ✓La radice quadrata è l'inverso del quadrato: √n è il numero che, moltiplicato per sé stesso, dà n (√144 = 12).
- ✓Un quadrato perfetto ha radice intera (4, 9, 144…); la maggior parte dei numeri ha radice irrazionale, con infinite cifre (√2 ≈ 1,41).
- ✓I numeri negativi non hanno radice quadrata reale, perché nessun numero al quadrato dà un risultato negativo.
- ✓È il passaggio finale del teorema di Pitagora e serve per risalire da un'area al lato o dalla varianza alla deviazione standard.
Domande frequenti
Cos'è la radice quadrata di un numero?+
È il valore che, moltiplicato per sé stesso, restituisce il numero di partenza: √25 = 5 perché 5 × 5 = 25. È l'operazione inversa dell'elevamento al quadrato.
Quanto vale la radice quadrata di 144?+
Vale 12, perché 12 × 12 = 144. Essendo 12 un numero intero, 144 è un quadrato perfetto e la radice è esatta.
Cos'è un quadrato perfetto?+
Un numero la cui radice quadrata è un intero, come 1, 4, 9, 16, 25, 36, 144. La maggior parte dei numeri non lo è, e la loro radice ha infinite cifre decimali.
Si può fare la radice quadrata di un numero negativo?+
No, non tra i numeri reali: qualsiasi numero moltiplicato per sé stesso dà un risultato positivo o nullo, quindi non esiste un reale la cui radice sia negativa. Serve il campo dei numeri immaginari, che va oltre l'uso quotidiano.
Perché un numero ha due radici quadrate?+
Perché sia il positivo sia il suo opposto, elevati al quadrato, danno lo stesso valore: 12² = 144 e (−12)² = 144. Per convenzione il simbolo √ indica solo la radice positiva.
Come stimo una radice quadrata a mente?+
La si "incastra" tra due quadrati perfetti: √50 sta fra √49 = 7 e √64 = 8, quindi vale poco più di 7 (circa 7,07). È utile per controllare al volo che un risultato sia plausibile.
Metodo e fonti
I calcoli applicano le formule ufficiali con i parametri in vigore nel 2026. I risultati sono stime indicative a scopo informativo e non sostituiscono una consulenza professionale: verifica sempre con le fonti ufficiali. A cura di La redazione fiscale di Calcolando · aggiornato a gennaio 2026. Come lavoriamo.