Area del Parallelogramma

Che cos'è il parallelogramma e la sua area

Il parallelogramma è un quadrilatero — un poligono con quattro lati — che ha i lati opposti paralleli a due a due. Ne consegue che i lati opposti sono anche uguali, e che gli angoli opposti sono uguali tra loro. È una figura molto «di famiglia»: il rettangolo, il rombo e il quadrato sono tutti casi particolari di parallelogramma.

L'area del parallelogramma è la misura della superficie racchiusa dai suoi quattro lati, cioè quanto «spazio» occupa la figura sul piano. Come ogni area, si esprime in unità di misura al quadrato: se base e altezza sono in centimetri, l'area risulta in centimetri quadrati (cm²); se in metri, in metri quadrati (m²).

Per calcolare l'area servono due dati: la base e l'altezza. La base è uno qualsiasi dei lati (di solito quello «di appoggio»); l'altezza è la distanza perpendicolare tra la base e il lato opposto, misurata a 90°. Attenzione: l'altezza non è la lunghezza del lato obliquo, che collega la base al lato opposto in modo inclinato ed è in genere più lunga. È il punto più delicato di tutto il calcolo.

Il calcolatore di questa pagina chiede base e altezza e restituisce l'area del parallelogramma. Con i valori predefiniti — base 6 e altezza 4 — l'area vale 24. Nota che non serve la lunghezza del lato obliquo: due parallelogrammi con la stessa base e la stessa altezza hanno la stessa area, per quanto diversa sia la loro inclinazione.

La formula dell'area: A = base × altezza

La formula dell'area del parallelogramma è A = b × h, dove b è la base e h è l'altezza. In parole: si moltiplica la base per l'altezza. È la stessa identica formula del rettangolo, e non è un caso: un parallelogramma si può sempre «raddrizzare» in un rettangolo equivalente con la stessa area.

Il ragionamento è elegante. Immagina di tagliare il parallelogramma lungo una perpendicolare, staccando un triangolo da un lato, e di spostarlo dall'altro lato: ottieni un rettangolo con la stessa base e la stessa altezza. Poiché hai solo spostato un pezzo senza aggiungere né togliere superficie, l'area non è cambiata. Quel rettangolo ha area base × altezza, e quindi anche il parallelogramma ha area base × altezza.

Da questo «raddrizzamento» nasce la conseguenza più importante: l'area dipende solo dalla base e dall'altezza, non dai lati obliqui. Puoi «inclinare» il parallelogramma quanto vuoi, allungando i lati obliqui, ma finché base e altezza restano le stesse l'area non cambia. I lati obliqui contano solo per il perimetro, non per la superficie.

L'altezza va sempre presa perpendicolare alla base scelta. Se cambi la base (prendendo un altro lato come appoggio), cambia anche l'altezza corrispondente, ma il prodotto base × altezza resta lo stesso. È un buon controllo: qualunque coppia base-altezza «coerente» deve dare la stessa area.

• Passo 1 — Scegli la base (un lato) e misura l'altezza perpendicolare al lato opposto.
• Passo 2 — Moltiplica base per altezza: A = b × h.
• Ricorda — L'altezza è la distanza a 90°, non il lato obliquo.

Esempio di calcolo con base 6 e altezza 4

Prendiamo il parallelogramma predefinito del calcolatore, con base 6 e altezza 4. Il calcolo dell'area è un'unica moltiplicazione: 6 × 4 = 24. L'area del parallelogramma è quindi 24 unità quadrate, esattamente il valore restituito dal calcolatore.

Verifichiamo con l'interpretazione «a rettangolo». Un rettangolo con base 6 e altezza 4 ha area 6 × 4 = 24: lo stesso risultato. È la conferma che il parallelogramma, ai fini dell'area, si comporta come il rettangolo equivalente ottenuto raddrizzandolo. Se i due metodi non coincidessero, ci sarebbe un errore da qualche parte, quasi sempre l'aver usato il lato obliquo al posto dell'altezza.

Cambiamo qualche numero per prendere confidenza. Con base 8 e altezza 5, l'area è 8 × 5 = 40; con base 10 e altezza 3, l'area è 10 × 3 = 30. In tutti i casi la regola è la stessa: base per altezza, purché l'altezza sia quella perpendicolare.

La formula si presta anche al calcolo inverso. Se conosci l'area e la base, puoi ricavare l'altezza: h = A ÷ b. Con area 24 e base 6, l'altezza è 24 ÷ 6 = 4, coerente con il dato di partenza. Allo stesso modo, nota l'area e l'altezza, la base è A ÷ h. È utile quando è più facile misurare la superficie di un pezzo che la sua altezza perpendicolare.

Casi particolari e figure collegate

Il parallelogramma è la «figura madre» di diversi quadrilateri più familiari, e la sua formula li abbraccia tutti. Il rettangolo è un parallelogramma con gli angoli retti: in quel caso i lati obliqui diventano verticali e coincidono con l'altezza, il che semplifica le misure. Il quadrato è un rettangolo con tutti i lati uguali. Il rombo è un parallelogramma con tutti e quattro i lati uguali, ma angoli non retti.

Per il rettangolo e il quadrato, la formula base × altezza vale così com'è, perché l'altezza è direttamente un lato. Il rombo, invece, merita attenzione: la sua area si può calcolare con base × altezza come per ogni parallelogramma, ma più spesso si usa la formula con le diagonali, (d1 × d2) ÷ 2, perché nel rombo sono più facili da misurare. Sono due strade che portano allo stesso risultato.

Il parallelogramma è strettamente imparentato anche con il triangolo. Ogni parallelogramma si può dividere in due triangoli uguali tracciando una diagonale: di conseguenza, l'area di un triangolo è la metà di quella del parallelogramma con la stessa base e altezza. È il motivo del «diviso due» nella formula dell'area del triangolo (base × altezza ÷ 2), e spiega perché queste formule sono tutte parenti.

Vale la pena tenere a mente le relazioni tra queste figure, riassunte nella tabella seguente. Se ti servono le formule delle figure vicine, torna utile confrontare l'area del rettangolo, l'area del rombo, l'area del triangolo e l'area del trapezio: condividono tutte la logica «base × altezza», con o senza il «diviso due». Se invece ti serve il contorno del parallelogramma anziché la superficie, la grandezza da calcolare è il perimetro, cioè 2 × (base + lato obliquo).

A cosa serve nella vita reale

L'area del parallelogramma è utile in tutti i contesti in cui una superficie ha lati paralleli ma è «inclinata» anziché rettangolare. In edilizia e nel taglio dei materiali, molti pezzi di legno, lamiera o stoffa hanno forma di parallelogramma quando i bordi sono paralleli ma tagliati in obliquo. Conoscere l'area serve a stimare la quantità di materiale, indipendentemente dall'inclinazione.

In agrimensura e nel calcolo dei terreni, appezzamenti con due lati paralleli e forma «sghemba» si misurano bene con la formula base × altezza, dove l'altezza è la distanza perpendicolare tra i due lati paralleli. È un modo pratico per stimare la superficie di lotti che non sono rettangolari ma hanno comunque coppie di lati paralleli.

La stessa idea compare in ambiti tecnici e grafici: pattern, tassellature e decorazioni geometriche usano spesso il parallelogramma come modulo di base, e la sua area determina la superficie coperta da ciascun elemento. In fisica, l'area del parallelogramma costruito su due vettori ha un significato preciso (è legata al loro prodotto), a riprova di quanto questa figura sia fondamentale.

In tutti questi casi il ragionamento è lo stesso: individua la base e l'altezza (la distanza perpendicolare tra i lati paralleli, non il lato obliquo), moltiplicale e ottieni la superficie. Un uso frequente è anche quello inverso — nota l'area e la base, ricavare l'altezza con h = A ÷ b — quando è più comodo misurare la superficie che l'altezza direttamente.

Errori comuni da evitare

L'errore più comune, di gran lunga, è usare la lunghezza del lato obliquo al posto dell'altezza. L'altezza del parallelogramma è la distanza perpendicolare (a 90°) tra la base e il lato opposto, non la misura del lato inclinato. Poiché il lato obliquo è quasi sempre più lungo dell'altezza, questo scambio porta a sovrastimare l'area. Solo nel rettangolo il lato «obliquo» è verticale e coincide con l'altezza.

Il secondo errore è moltiplicare i due lati adiacenti (base × lato obliquo) come se fossero base e altezza. Non è così: la formula vuole base × altezza perpendicolare, non il prodotto di due lati che si incontrano. Moltiplicare i lati darebbe un valore troppo grande, perché ignora l'inclinazione. Il prodotto dei due lati coincide con l'area solo nel rettangolo, dove i lati sono perpendicolari.

Un terzo errore è prendere un'altezza «scoordinata» rispetto alla base scelta. L'altezza deve sempre riferirsi alla base che stai usando: se cambi lato di appoggio, devi cambiare anche l'altezza corrispondente. Mescolare la base di un lato con l'altezza relativa a un altro lato falsa il calcolo.

Infine, come per ogni area, il risultato va espresso in unità al quadrato (cm², m²), non lineari. E attenzione a mantenere coerenti le unità: se la base è in metri e l'altezza in centimetri, il calcolo è sbagliato. Porta prima tutti i valori nella stessa unità, poi moltiplica.

Esempio di calcolo

Parallelogramma con base 6 e altezza 4 (i valori predefiniti).

Domande frequenti