Area dell'Ellisse

Che cos’è l’area dell’ellisse

L’ellisse è la figura che si ottiene "schiacciando" un cerchio lungo una direzione: pensa all’ombra allungata di una moneta illuminata di lato, oppure al bordo di una pista di atletica. La sua area è la misura della superficie racchiusa da questo contorno ovale, cioè quanto spazio occupa la figura sul piano. Come per ogni superficie, si esprime in unità di misura al quadrato: centimetri quadrati (cm²) se i semiassi sono in centimetri, metri quadrati (m²) se sono in metri.

A differenza del cerchio, che ha un solo raggio uguale in ogni direzione, l’ellisse ha due "raggi" diversi. Si chiamano semiassi e sono le distanze dal centro al bordo misurate lungo le due direzioni principali, tra loro perpendicolari. Il semiasse maggiore (indicato con a) è il più lungo; il semiasse minore (indicato con b) è il più corto. Gli assi completi, che attraversano tutta la figura da bordo a bordo, sono il doppio dei rispettivi semiassi.

Per calcolare l’area di un’ellisse servono quindi due dati, non uno solo: entrambi i semiassi. Il calcolatore di questa pagina parte proprio da a e b e restituisce direttamente la superficie. Con i valori predefiniti — semiasse maggiore 5 e semiasse minore 3 — l’area risulta circa 47,12.

Attenzione a non confondere il semiasse con l’asse intero. Se un problema ti dà gli assi (le due larghezze totali della figura), devi prima dimezzarli per ottenere i semiassi da inserire nella formula. È l’errore più frequente, del tutto analogo alla confusione tra raggio e diametro nel cerchio.

La formula: A = π × a × b

La formula dell’area dell’ellisse è sorprendentemente semplice ed elegante: A = π × a × b. Si moltiplicano tra loro i due semiassi e si moltiplica il risultato per π (pi greco), la costante matematica che vale circa 3,14159. Non c’è nessun elevamento al quadrato di un singolo valore, come accade nel cerchio: qui il ruolo del quadrato del raggio è preso dal prodotto dei due semiassi, che possono essere diversi.

Il modo migliore per ricordarla è vederla come una parente stretta dell’area del cerchio. La formula del cerchio è A = π × r², che possiamo riscrivere come A = π × r × r. L’ellisse fa esattamente la stessa cosa, ma con due raggi diversi al posto di uno solo: π × a × b. Se i due semiassi coincidono (a = b = r), l’ellisse diventa un cerchio e la formula ritorna automaticamente π × r². Il cerchio, in altre parole, non è che un caso particolare di ellisse.

Il calcolo si riduce quindi a due operazioni. Prima si moltiplicano i due semiassi tra loro; poi si moltiplica quel prodotto per pi greco. L’ordine dei semiassi non conta: a × b dà lo stesso risultato di b × a, perché la moltiplicazione è commutativa. Il calcolatore esegue entrambi i passaggi e usa molte cifre di pi greco per garantire la massima precisione.

Vale la pena notare quanto sia più semplice l’area rispetto al perimetro dell’ellisse. Mentre l’area ha una formula esatta e compatta, la lunghezza del bordo di un’ellisse non si può scrivere con una formula elementare e richiede approssimazioni: è una delle curiosità che rendono l’ellisse una figura affascinante per i matematici.

• Passo 1 — Prodotto dei semiassi: a × b.
• Passo 2 — Moltiplica per pi greco: A = π × (a × b).
• Se hai gli assi interi: prima dimezzali (a = asse maggiore ÷ 2, b = asse minore ÷ 2), poi applica la formula.

Esempio di calcolo con semiassi 5 e 3

Prendiamo l’ellisse predefinita del calcolatore, con semiasse maggiore a = 5 e semiasse minore b = 3, e seguiamo il conto passo per passo. Primo passo: moltiplichiamo i due semiassi tra loro, 5 × 3 = 15. Secondo passo: moltiplichiamo per pi greco, 15 × 3,14159 = 47,1239. L’area dell’ellisse è quindi circa 47,12 unità quadrate.

È istruttivo confrontare questo risultato con quello di un cerchio. Un cerchio di raggio 5 ha area π × 25 ≈ 78,54; un cerchio di raggio 3 ha area π × 9 ≈ 28,27. La nostra ellisse, con semiassi 5 e 3, ha un’area di 47,12: un valore intermedio, come è naturale aspettarsi da una figura "a metà strada" tra i due cerchi. È esattamente la media geometrica delle due aree, perché il prodotto 5 × 3 sta in mezzo tra 5 × 5 e 3 × 3.

Verifichiamo anche il caso limite. Se rendessimo i due semiassi uguali, per esempio entrambi pari a 5, l’ellisse diventerebbe un cerchio: π × 5 × 5 = π × 25 ≈ 78,54, cioè proprio l’area del cerchio di raggio 5. La formula dell’ellisse contiene quindi quella del cerchio come caso particolare, e questo è un buon modo per controllare che stiamo ragionando correttamente.

Questo esempio combacia con l’output del calcolatore quando si lasciano i valori predefiniti: con semiassi 5 e 3 l’area restituita è circa 47,12. Il grafico qui sotto mostra come, a parità di semiasse minore, l’area cresca in modo proporzionale al semiasse maggiore.

A cosa serve e legami con le altre figure

L’area dell’ellisse torna utile ogni volta che si ha a che fare con una superficie di forma ovale. In giardinaggio e in agricoltura serve a stimare la superficie di un’aiuola o di una vasca ellittica; in cucina, l’area di un piatto o di uno stampo ovale dice quanta porzione contiene; in ambito tecnico e architettonico compare nelle sezioni di condotti ovali, negli specchi d’acqua, nelle piste e negli anfiteatri. Anche molte orbite dei pianeti sono ellissi, e l’area "spazzata" da un pianeta è alla base di una delle leggi di Keplero.

Poiché l’ellisse è la generalizzazione del cerchio, il modo più naturale di padroneggiarla è metterla in relazione con le figure tonde che già conosci. Se i due semiassi sono uguali ottieni un cerchio, e per la sua superficie puoi usare direttamente la pagina dedicata all’area del cerchio. Se invece ti serve la lunghezza del bordo di un cerchio — operazione che nell’ellisse è complicata — trovi tutto nel calcolo della circonferenza.

Restando tra le figure curve, l’ellisse fa parte della stessa famiglia dei settori e delle porzioni di cerchio. Quando devi calcolare solo una fetta di superficie tonda, come uno spicchio, lo strumento giusto è l’area del settore circolare. E se invece la tua figura ha molti lati dritti che approssimano una curva, come certe vasche o aiuole poligonali, conviene passare all’area del poligono regolare.

In tutti questi casi il ragionamento resta lo stesso: individua i due semiassi (le due mezze-larghezze perpendicolari), moltiplicali tra loro e poi per pi greco. Se parti dagli assi interi, ricordati solo di dimezzarli prima.

Errori comuni da evitare

Il primo errore, il più frequente, è confondere i semiassi con gli assi interi. Il semiasse va dal centro al bordo; l’asse attraversa tutta l’ellisse ed è il doppio del semiasse. Se nella formula A = π × a × b inserisci gli assi completi invece dei semiassi, ottieni un’area quattro volte più grande di quella corretta (perché entrambi i fattori raddoppiano). Prima di calcolare, chiediti sempre se i numeri che hai sono semiassi o assi interi.

Il secondo errore è applicare all’ellisse la formula del cerchio, elevando al quadrato un solo semiasse. Scrivere π × a² o π × b² è sbagliato: quello darebbe l’area di un cerchio, non dell’ellisse. La formula dell’ellisse moltiplica i due semiassi diversi tra loro, π × a × b, e solo quando a e b coincidono si riduce a π × r².

Il terzo errore è nell’ordine delle operazioni e nell’arrotondamento di pi greco. In A = π × a × b si moltiplicano prima i semiassi e il risultato per π; usare 3,14 va bene per una stima veloce, ma per un calcolo preciso conviene tenere più cifre. Il calcolatore lavora con molte cifre decimali proprio per non introdurre errori di arrotondamento.

Esempio di calcolo

Ellisse con semiasse maggiore 5 e semiasse minore 3, i valori predefiniti del calcolatore.

Domande frequenti